综合能力全解
能力讲解
例1 求15和20的最小公倍数和最大公因数。最大公因数和最小公倍数的乘积与这两个数有什么关系?
分析先求出这两个数的最大公因数和最小公倍数。用分解质因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数。15＝3×5，20＝2×2×5，5×60＝300，15和20的积也是300，15和20的积等于它们最大公因数和最小公倍数的积。因为最大公因数和最小公倍数里包括了两个数各自独有的质因数又包括了全部公有的质因数。
解答 15和20的最大公因数是5；15和20的最小公倍数是60。
总结 两个数的最大公因数和最小公倍数与两数的关系；两个数的乘积＝它们的最大公因数×它们的最小公倍数。
例2 六年级同学参加环保宣传活动。9人一组则多6人，8人一组则多5人，参加宣传活动的同学至少有多少人?
分析 由已知条件可知：参加活动的同学只要多3人，就正好是9和8的公倍数。也就是说，参加活动的同学比9和8的公倍数少3。求至少有多少人，就是求出9和8的最小公倍数，减去3就是参加宣传活动同学的人数。
解答 9和8的最小公倍数是72。
72-3＝69(人)
答：参加宣传活动的同学至少有69人。
总结 当题中所求的数不是已知数的最小公倍数时，可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使所求问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
赛点题库
1.(探究题)有一车饮料，如果3箱一数，数完还剩1箱；如果5箱一数，数完也剩1箱；如果7箱一数，数完也剩1箱。这车饮料至少有多少箱?
分析：这车饮料的箱数是3、5、7的最小公倍数多1。
解答：106箱
2.(实践题)两个质数的最小公倍数是77，这两个质数的和是多少?
分析：把77分解质因数，求出两个质数。
解答：这两个质数是7和11。两个质数的和是：7+11=18。
3.(学科内综合题)学校甬路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵树，现小树长大，改为每隔5米植一棵树。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动?
分析：足2和5公倍数的1棵都不需要移动，2和5的最小公倍数是10．那么10米、20米，……，70米处的1棵都不需要移动。
解答：7棵
4.(奥赛题)(2005年第三届小学“希望杯”邀请赛)一盘草莓约20个左右，几位小朋友分。若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个。这盘草莓有__________个。
分析：满足除以3余2，除以4余1的最小自然数是5，5再加3和4的公倍数所得的数除以3也是余2，除以4余1。3和4最小公倍数是12，这盘草莓就是：5+12=17(个)。
解答：17个。
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