《一元二次方程》教案2
安福县城关中学 曹经富
课题
一元二次方程
简述教案设计思想与特色
教学设计说明
通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式及有关概念，进而通过夹逼思想估算方程的解。在本节课的活动1中，通过预案引入学生熟悉的一元一次方程，进行知识的铺垫与迁移作好准备。在活动2中通过创设实际问题让学生得到方程进行观察发现，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识。活动3是在实际问题让学生体会与理解一元二次方程的根的意义及夹逼法的微积分思想。
教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识。
教材分析
教材基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程、各部分名称及一元二次方程根的意义。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型，它不仅是初中阶段学习的重点内容，而且是后面学习二次函数的基础，起着承上启下的作用。
学情分析
学生的知识技能基础：学生已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标
1. 理解一元二次方程的概念及根的意义，能将一元二次方程化成一般式并正确识别各项及各项系数。
2.在实际问题创设与构建相应的数学建模，经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生在观察，探究与类比中，自主与合作学习，归纳新知，培养学生的观察能力。
教学重点
本节的重点是：经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，理解一元二次方程相关概念、各项系数的辨别、一般形式及判定一个数是否是方程的根。
教学重点的解决方法：由浅入深，循序渐进，逐步深入，适当点拨和学生充分讨论交流形成共识，利用对一元一次方程的已有认识，设置由浅入深一些练习题，加深对概念的理解与把握。通过题组的学习和训练，归纳出用一元二次方程定义解题的一般步骤。进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型。

教学难点
本节难点是：由实际问题列出的一元二次方程，并判断方程根是否符合实际问题。
教学难点的解决方法：要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。通过问题情境，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的相关概念迁移到一元二次方程的相关概念。
（1）注意师生互动，提高学生的思维效率。（2）针对学生的盲区，进行相应的练习巩固。
课时设计
两课时
教学方式
本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论探究法、练习法为辅的教学方法。

教学过程

教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1 回顾与自学
活动2 课堂探究与应用拓展1
活动3 课堂探究与应用拓展2
活动4 感悟与收获
复习一元一次方程有关概念,自学课本填空问题感知新知。
通过创设问题情境，酝酿与构建一元二次方程并获得一元二次方程的有关概念。
判定一个数是否是方程的根。
回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。

教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图

「活动1」回顾与自学
1．下列是一元一次方程的是（    ）
A．2x＋1    B．x＋2y=1　　　　
C．x2＋2=0  　D．x=3
2．2是关于x的方程2x-3k=2的解，则k=

   。
3．已知y2=b（b≥0），则y=         

；
4.自学本课本，思考与交流：
（1）已知方程是  元  

次方程，二
02x
次项系数是  ，一次项系数是  ，常数项是  

。
（2）将方程化为一般形式是         

 
2213xx
，它的二次项系数是    ，一次项系数是     

 ，常数项是         

。
（3）将方程（2x-1）(3x-1)=3化为一般式是                

 。
（4）方程x(x-1)=0的解为       

。
（5）已知2是关于x的方程的解，求2a的值。
02232ax
〖答案〗1．D 2．     3． 
32
b
4.（1）一，二，1，0，0。（2），2，-3，1。（3）
01322xx
。(4)0,1 (5)6
02562xx
「活动2」课堂探究1（分组讨论，合作探究）
根据下列问题列方程
（1）要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
（2）绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
（3）如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作
教师展示练习（详见课件），让学生独立完成4个问题，其中前3个问题复习回顾，第4个问题自学与预习。
教师展示问题情境，学生独立自主列方程。
对于学生难理解的，教师适当对个别学生进行点拨或画出分析示意图。
提出问题，让学生观察，并讨论与交
通过这一题组让学生初步了解一元一次方程的概念，为进一步掌握一元二次方程的定义打下基础，同时也初步了解建立方程模型的思想。这也根据诱发兴趣原理中。在新知识教学中，使学生回忆并注意可以诱发的解决一连串的疑问的旧有经验。为掌握新知打下基础。
由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受一元二次方程，同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型。
通过创设情境，让学生从生活中发现数学问题，同时也让学生感悟一元二次方程在生活中无处不在。激发学生的求知欲，通过对数学问题的讨论揭发学生去探秘。这也是诱发兴趣原理所在。
同时体现出一种“问题情景---数学模型-----概念归纳”

的无盖方盒的地面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
（4）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
思考讨论： （1）分清题目的数量关系，抽象出数学模型，列出方程；
（2）请你对以上所列方程比较一下，找出它们具有的共同特征；
流一元二次方程的特征。
对所列出的方程通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后引导学生结合整式内容指出各项及系数。
教师在学生指出各项系数的环节中，分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）。
的模式，有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透方程思想。

问题与情景
师生行为
设计意图

「归纳与发现」
1．一元二次方程的概念：
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般式是，
02cbxax
其中a、b、c是已知数，a0， b、c为任意实数，

ax2是二次项，bx是一次项，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项。
应用拓展1
（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？说说你的理由？
①x2=16；  ②x2-5x-12=0； ③x2+2y-3=0； ④； ⑤ax2+bx+c=0；  
112xx
⑥x4+x2+1=0；
（2）方程是关于
013)2(mxxmm
x的一元二次方程，求m的值 ．
（3）关于x的方程一元
43222xxax
二次方程的条件是什么？
（4）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项。
〖答案〗（1）一元二次方程有①②；（2）2  （3）；
2a
（4），二次项、二次项系
220xx
2x
数1；一次项、一次项系数1；常数项－2或
x
，二次项2、二次项系数2；
22240xx
2x
一次项2、一次项系数2；常数项－4。
x
「活动3」课堂探究2（分组讨论，合作探究）
活动中教师应重点关注:
(1) 引导学生观察所列出的4个方程的特点；
(2) 让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义。
(3) 强调定义中体现的3个特征:
①整式；②一元；③2次。
教师活动：操作投影，将探究应用显示，组织学生讨论。
学生活动：合作交流，讨论解答。
关键引导学生类比一元一次方程与整式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念。 此活动中,教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳。
教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结。
可引导学生采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试
让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的。
由学生独立完成应用拓展题，以检测对一元二次方程概念的理解与掌握。
这组应用拓展练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解。
尤其结合字母系数,加大题目难度,提高学生对概念的理解与运用能力。
 
将预案中一元一次方程的解的知识与方法迁移到来观察一

前面排球邀请赛的问题中，我们列出的方程x2-x=56如何知道它的解？
问题:
1．什么是方程的解？
2．什么是一元二次方程的解？
3．在排球邀请赛问题中，为什么x只取8，不取-7呢？
归纳发现：
（1）使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
（2）方程近似解的求法。
应用拓展2
1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
   -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。
2.你能想出下列方程的根吗？
①3x2=3
②36x2-25=0
3.已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求
22(3)390mxxm
m的值。
〖答案〗1. -3，-2 2. ,  3.-3
1
56
4．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm．则宽为（x-5）cm,列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
①x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由。
②完成下表：
x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150

③你知道铁片的长x是多少吗？
分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根。
的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等。
教师活动：操作投影，将探究应用显示，组织学生讨论。
学生活动：合作交流，讨论解答。
学生独立思考、独立解题。
    教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
通过在应用拓展设置问题与填表，关键是让学生理解：（1）如何检验方程的解及巧用根的意义解题。
（2）如何运用夹逼法估算方程的近似值。
元二次方程的根，从而学会验证一元二次方程的解，同时注意考虑问题的严密性。
赋予学生特定的实际生活，让学生在感知新知的同时，介绍一种新的方法──“夹逼”方法猜测出该方程的根，同时代数中代入法的灵活运用和整体求值思想的运用，形成一定的思想和方法。

    解：（1）x不可能小于5。理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意。
    x不可能等于10。理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能。
（2）
    （3）铁片长x=15cm
5．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：
设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：
第一步：
x
1
2
3
4
x2-3x-1
-3
-3

       所以，________<x<__________
第二步：
x
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-3x-1
-0.96
-0.36

       所以，________<x<__________
 请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数部分为_______，十分位为______．
答案：（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4
 （2）3，3
「活动4」感悟与收获
活动内容：师生相互交流，本节课学了哪些知识？有什么体会？在本节课中，对自己及其他同学们的学习表现满意吗？ 
活动目的：教师鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想，教师适当地给予鼓励，培养学生的语言表达能力、概括能力及善于归纳总结良好的学习习惯。
活动注意事项：教师不要事事包办，要大胆放手，给学生一个展现自我的机会，让学生畅所欲言，对于学生的精彩表现要要及时鼓励、肯定.
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用；
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程，交流学习心得。
学生独立完成作业，教师批改、总结。
通过归纳总结，使学生优化概念，内化知识。

（3）一元二次方程根的概念以及作用。

「活动5」课后作业
1．下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（   ）
A.
02cbxax
               B.
xxax221
C.
0)1()1(222xaxa
      D.
0312axx
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（   ）．
     A．2，3，-6     B．2，-3，18    C．2，-3，6     D．2，3，6
3．若
12x
与
12x
互为倒数，则实数
x
为（ ）
A.±
21
          B.±1     C.±
22
        D.±
2
4．若
m
是关于
x
的一元二次方程
02mnxx
的根，且
m
≠0，则
nm
的值为（ ）
A.
1
            B.1        C.
21
         D.
21
5．关于
x
的一元二次方程
02kx
有实数根，则（ ）
A.
k
＜0  B.
k
＞0   C.
k
≥0    D.
k
≤0
6．方程是一个一元二次方程， a的值是（ ）．
4(6)810aaxx
A.6    B.-6        C.6，-6    D.无法确定
7．若方程
02cbxax
)0(a
中，
cba,,
满足
0cba
和
0cba
，则方程的根是（ ）
A.1，0      B.-1，0  C.1，-1        D.无法确定
8．已知是方程的根, 的值是（ ）.
a
210xx
3222013aa
A.2012       B. 2013     C. 2014      D. 2015
9．根据下表，判断方程x2+2x﹣10=0的一个近似解（精确到0.1）
x
…
-4.1
-4.2
-4.3
﹣4.4
﹣4.5
﹣4.6
…
y=x2+2x﹣10
…
-1.9
-0.76
-0.11
0.56
1.25
1.96
…

10. 已知关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0，问：
21mx
（1）m取何值时，它是一元二次方程并猜测方程的解；
（2）m取何值时，它是一元一次方程？
参考答案
1．C 2.B 3. C 4.A    5．D  6．A 7．C   8. C
9．解：根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x2+2x﹣10＜0.56，
∵0距﹣0.11近一些，∴方程x2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，
10.解：（1）根据题意得，解得：m=1。
21210mm
当m=1时，原方程可化为2x2﹣x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣。
12
（2）当时，
2010mm
解得：m=﹣1，
当m+1+（m﹣2）≠0且m2+1=1时，m=0
故当m=﹣1或0时，为一元一次方程。
板书设计
教学反思
本节设计中一元二次方程定义的概括过程及小组合作交流的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，让学生畅所欲言，更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度及主动参与、合作交流的意识。
本节教学需由浅入深，循序渐进，逐步深入，学生探究的问题愈来愈有挑战性，教师适当点拨和学生充分讨论形成共识，教师利用对一元一次方程的已有认识，设置由浅入深一些练习题，加深对概念的理解与把握。进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本节课遵循了新课标所倡导的教学模式：“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”，让学生去探索去发现规律，解决问题，培养学生的探索能力和创造能力。让学生在愉快的活动中体验成功的喜悦，增进学习数学的自信。    
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课的设计中教师可根据学生的实际情况，若学生基本功扎实，有较强的分析解决问题的能力，情境中的问题可不必采用填空的形式，放手让学生自己解决，个别题目可用多种设法列法。
在今后的教学中，要把数学思想和方法的教学贯穿于整个教学中，学生只有及早形成自己的思想和方法，才能学得轻松，从而更加爱学数学。同时及时找出课堂上出现的共性问题，利用辅导课及时纠正，然后做针对性练习来巩固盲区，强化课堂薄弱环节，使课堂走向优质高效化。